连续子数组的最大和

题目描述

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为$O(n)$。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

• 1 <= arr.length <= 10^5
• -100 <= arr[i] <= 100

题目链接

Leetcode

题目解答

假设nums数组长度为n，下标从0～n-1
用f(i)表示以下标i结尾的子数组最大和
f(i)的状态转移方程如下：
f(i) = max{f(i-1) + nums[i], nums[i]}

动态规划，根据状态转移方程，我们用一个新数组依次记录每一个下标元素作为结尾的子数组和的最大值，然后将这个值与全局的最大值比较，全局最大值的最终结果就是所有子数组和的最大值。

时间复杂度:$O(n)$ 空间复杂度:$O(n)$

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        int maxSum = nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            maxSum = Math.max(dp[i], maxSum);
        }
        return maxSum;
    }
}

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借助滚动数组思想，定义一个变量curSum用来记录f(i-1)的值，这样可以不使用额外的数组，空间复杂度降到了$O(1)$。

时间复杂度:$O(n)$ 空间复杂度:$O(1)$

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int curSum = 0, maxSum = nums[0];
        for (int num : nums) {
            curSum = Math.max(curSum + num, num);
            maxSum = Math.max(curSum, maxSum);
        }
        return maxSum;
    }
}

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